方程的根与函数的零点吴国平:要想成为高中数学的学霸,那就从函数

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吴国平:要想成为高中数学的学霸,那就从函数方程的关系开始

2017-10-21 08:57 来源:吴国平

原标题:吴国平:要想成为高中数学的学霸,那就从函数方程的关系开始

等量关系是我们跟这个社会、大自然等等打交道最常遇见的关系式之一,如经商、贸易来往、等价交换、交流等,处处体现等量关系的重要性。

人类从最开始用“1”表示数量,如一个苹果、一只羊等,之后用未知量“x”进一步来表示数的概念,从而产生“方程”的意识和形成。

方程是指含有未知数的等式,更具体的来讲就是表示两个数学式之间相等关系的一种等式,能使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。

随着人类社会发展需要,在方程的基础就出现了函数这一概念。

传统的函数定义:

在一个变化过程中,假设有两个变量x、y,如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应,那么就称x是自变量,y是x的函数。x的取值范围叫做这个函数的定义域,相应y的取值范围叫做函数的值域。

现代数学从集合的角度来定义函数的概念:

设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称映射f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A或f(A)={y丨f(x)=y,y∈B}。

方程与函数之间的关系可以说非常的密切,在解决很多数学问题过程中,我们需要把一些方程问题转换成函数问题来求解,反之亦然。在这样的相互转化过程中,要求学生不仅要具备扎实的数学基础知识和方法技巧,更要能熟练运用这些知识方法来解决问题,才能正确解决相应的数学问题。

同时,学生通过解决方程和函数相关问题,能使自己的思维能力、创新能力、探索能力等等得到很好的锻炼,帮助提高数学综合能力和素养。因此,函数与方程相关的知识内容、方法技巧等等,一直是高考数学热点方向,希望大家能认真掌握。

如ax2+bx+c=0(a≠0)为一个一元二次方程,当把0改为y时,y=ax2+bx+c(a≠0),就是一个二次函数。因此,我们就可以把一元二次方程看成二次函数的一种特殊情况下的方程形式。方程相应的解在高中数学里面,我们称之为零点。

那么什么是函数的零点?

对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.

因此,我们一定要处理好函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系,如:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.

就像二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系如下表:

典型例题分析1:

m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.

(1)有且仅有一个零点;

(2)有两个零点且均比-1大.

解:(1)若函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点,

则等价于Δ=4m2-4(3m+4)=0,

即m2-3m-4=0,

解得m=4或m=-1.

(2)设两零点分别为x1,x2,且x1>-1,x2>-1,x1≠x2.

则x1+x2=-2m,x1·x2=3m+4,

按照初中的函数与方程思想,求零点就相当于求函数与x轴的交点,但在高中数学里有其他的解决方法,如函数零点的判定(零点存在性定理):

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。

利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时,首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续不断,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点。

因此,要向正确判断出函数零点的个数,记住以下这些常用方法:

1、解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点;

吴国平:金秋9月我炼金龙图纸们要有寻找十倍股思维


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